Физика Низких Температур: Том 47, Выпуск 7 (Июль 2021), c. 602-612    ( к оглавлению , назад )

Dynamical Green’s function for elastic half-space, and energy losses due to collision

Marina Litinskaya

Department of Physics and Astronomy, University of British Columbia, Vancouver V6T 1Z1, Canada
E-mail: litinskaya@gmail.com

Inna Kaganova

Center of Optical Neural Technologies, Scientific Research Institute for System Analysis RAS Moscow 117218, Russia
E-mail: imkaganova@gmail.com

Received March 10, 2021, published online May 26, 2021

Abstract

This special issue celebrates 100 years since the birth of Moisey Isaakovich Kaganov. This date is a personal event for us, since Moisey Issakovich (or Musik, for his friends and close ones) is the father of one of us, and the grandfather of the other. In addition, we have both been his students. We received the problem discussed in this paper by succession. In 1949 Ilya Mikhailovich Lifshitz was interested in studying electrodynamic and elastic properties of solids, and this analysis required knowledge of the corresponding Green’s functions. He suggested to his two graduate students, Moisey Kaganov and Victor Tzukernik, to calculate the displacement vector caused by an instant point source acting at the surface of an elastic half-space. At that time they had chosen a different topic, and the problem hibernated until the early 1990s, when Moisey Issakovich suggested it as a subject for a Master’s thesis for one of us (ML) to be conducted under the supervision of the other one (IK). The results have been published in papers I. M. Kaganova and M. L. Litinskaia, Phys. Lett. A 200, 365 (1995) [1] and I. M. Kaganova and M. L. Litinskaia, Phys. Lett. A 200, 375 (1995) [2]. The first paper discussed the derivation of the normal component of the displacement vector. We showed that the displacement can be calculated as an integral in the complex plane, and examined the displacement at the surface of the half-space and at the direction normal to the surface. We showed that the singularities of the displacement are linked to certain changes in the shape of the integration contour. In the second paper, we applied the expression for the normal displacement to the calculation of the elastic energy due to an external load, and found the amount of energy lost by a small ball incident onto an elastic half-space. In this publication, we expand the analysis by investigating the singularities of the displacement vector in an arbitrary point of the half-space, and briefly review our previous results.

Анотація

Цей спеціальний випуск присвячено 100-річчю від дня народження Мойсея Ісаковича Каганова. Ця дата — також особиста подія для нас як авторів, оскільки Мойсей Ісакович (або просто «Мусик» для своїх друзів та близьких) був батьком для однієї з нас (І. К.), і дідусем для іншої (М. Л.). Крім того, ми обидві були його ученицями та, як би у спадок, займалися пошуком вирішення проблемних питань, які окреслені у цій статті. У 1949 р. Ілля Михайлович Ліфшиць був захоплений проблемою електродинамічних й пружних властивостей твердих тіл. Цей аналіз вимагав знання відповідних функцій Гріна. Він запропонував своїм аспірантам, Мойсею Каганову та Віктору Цукернику, обчислити вектор зміщення, який викликаний точковим джерелом, що миттєво діє на поверхні пружного півпростору. Але тоді вони займалися розробкою іншої теми, та це дослідження не розглядалося до початку 1990-х років, коли М. І. Каганов запропонував цю ідею як тему магістерської роботи для однієї з нас (М. Л.), яка буде проводитися під керівництвом іншої (І. К.). Результати опубліковано у статтях I. M. Kaganova and M. L. Litinskaia, Phys. Lett. A 200, 365 (1995) [1] та I. M. Kaganova and M. L. Litinskaia, Phys. Lett. A 200, 375 (1995) [2]. У першій статті обговорювалося походження нормальної складової вектора зміщення. Показано, що зсув може бути обчислено як інтеграл в комплексній площині, при цьому можна вивчати зміщення як на поверхні півпростору, так і в напрямку, нормальному до поверхні. Виявлено, що особливості зміщення пов’язані з певними змінами форми контуру інтегрування. У другій статті використано вираз для нормального зміщення при обчисленні пружної енергії, викликаної зовнішнім навантаженням, знайдено кількість енергії, що втрачається маленькою кулькою, яка падає на поверхню пружного півпростору. У даній роботі розширено аналіз з урахуванням особливості вектора зміщення в довільній точці півпростору та зроблено короткий огляд наших попередніх результатів.

Key words: Green’s functions, elastic half-space, displacement vector, integration contour shape.