Low Temperature Physics: 46, 779 (2020); https://doi.org/10.1063/10.0001540
Физика Низких Температур: Том 46, Выпуск 8 (Август 2020), c. 927-933    ( к оглавлению , назад )

Point interactions with bound states: A zero-thickness limit of a double-layer heterostructure

Alexander V. Zolotaryuk and Yaroslav Zolotaryuk

Bogolyubov Institute for Theoretical Physics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv 03143, Ukraine
E-mail: azolo@bitp.kiev.ua

Received March 3, 2020, published online June 22, 2020

Abstract

A heterostructure composed of two parallel homogeneous layers is studied in the limit as their width and the distance between them shrinks to zero simultaneously. The problem is considered in one dimension and the squeezing potential in the Schrödinger equation is chosen in the form of a piecewise constant function. As a result, two families of point interactions with bound state energy are realized from this structure. The specific feature of these interactions is the resonant-tunneling transmission of electrons through one-point singular potentials under certain conditions described by transcendental equations. The solutions to these equations define so-called resonance sets of Lebesgue’s measure zero. A particular example is the potential in the form of the derivative of Dirac’s delta function. For a whole family of point interactions including this example, the existence of a bound state is proven, contrary to the widespread opinion on the non-existence of bound states in δ′-like systems.

Анотація

Гетероструктура, що складається з двох паралельних шарів, досліджується в наближенні, коли товщина шарів та відстань між ними зменшуються до нуля. Проблема вивчається в одновимірному випадку, потенціал у рівнянні Шредінґера обрано у вигляді кусково-сталої функції. Для такої структури отримано два сімейства точкових взаємодій зі зв’язаними станами. Специфічною характерною рисою цих взаємодій є резонансно-тунельне проходження електронів через точковий синґулярний потенціал за певних умов, що задаються трансцендентними рівняннями. Рішення цих рівнянь визначають так звані резонансні множини нульової міри Лебега. Конкретним прикладом є потенціал у вигляді похідної від дельта-функції Дірака. Для всього сімейства точкових взаємодій, включаючи і цей приклад, доведено існування зв’язаних станів всупереч поширеній думці про неіснування зв’язаних станів у δ′-подібних системах.

Key words: one-dimensional quantum systems, point interactions, resonant tunneling, bound states.